こんにちは。
おにまめです。
本日は【令和元年】の一級建築士本試験の構造力学について解説してみようと思います。
今回は、よく出る問題の【たわみ】の問題です！
たわみの問題って、覚える公式が一覧になっている場合が多いんですが、もぅ覚えたくないし、見たくもない！！笑
おにまめ
こんなものを覚えるくらいなら、落語の一つでも覚えた方が人生は豊かになるような気がします。
だけど実はこの公式は、他の式から簡単に導きだせます。
その導き方もいづれまとめてみようと思います！！
それでは早速、問題に行ってみましょうー！！
問題を読みます
ここでポイントとなるのが、今回の問題では、【材料⋆スパン⋆荷重⋆支持方法が同じ】という事。
与条件がほとんど同じで、
分割された【断面形状のみが異なる】問題になっています。
おにまめ
じゃあ、次は【集中荷重のたわみの公式】を思いだしてみましょう。（あー見たくもないし、思い出したくもない。笑）
単純支持梁の集中荷重のたわみは$$\frac{PL3}{48EI}$$です。
今回の梁A~Cでは荷重条件や支持方法も全く同じでした。
ということは、【使う公式も同じ】という事になります。
じゃあ、たわみの公式の中で【断面形状が影響している部分はどこなのか】を知るために公式を分解して、見て行きましょう！！
公式を分解してみる
①【Pは集中荷重】です。
これは梁A~Cで同じです。
➁【Lは長さ】。
こちらも同じですねー。
③【Eはヤング率】。
やや、難しそうな名前が出てきましたが、そんなに難しいものではありません。
ヤング率とは、応力-ひずみ度曲線における【傾き】に相当するものです。
こんな図で表されます。
【縦軸を応力横軸をひずみとした図】です。
【ヤング率】が大きい場合、一定のひずみが出るまでにより大きな力を加えないといけないことを意味しています。
すんごいざっくり言うと【ヤング率高い=カタい】ってこと！
このヤング率は基本的には材質によって決まっています。
よって今回は梁A~Cで材質は同じなので、ヤング率も同じです。
④【I は断面二次モーメント】です。
これは部材の曲げにくさを表すもので、【断面形状】によって異なります。（やっときたー）
しかし、ここで終わってはいけません。。
断面二次モーメントをもう少し深く見て行きましょう。（もう少しの辛抱ですぞー）
おにまめ
長方形断面の場合の断面二次モーメントは$$\frac{BH^3}{12}$$で表されます。
Bは梁の横幅、Hは梁せいを意味します。
やっと、今回の唯一の変数である断面形状に関わる数値が出てきました。
・断面形状の違いにより、
・断面二次モーメントが変わって、
・たわみが変わる
という問題のようです。
断面二次モーメントを計算する
やっと問題の全体像が見えたところで、梁Aから見て行きましょう。
梁Aは幅2a。高さ2aです。
計算すると、
$$\frac{2a\times （2a）^3}{12}$$
$$\frac{16a^4}{12}･･･①$$
になります。
次に梁B。
梁Bは幅a。高さ2aの断面が2つです。
ここで、ポイントは【断面二次モーメントは足したり、引いたりすることができる】という事です。
もともと断面二次モーメントの概念は、
【ある小さい面積に長さの2乗をかけ、それを断面全体で足し合わせた数値】なので、分割した後に足したり引いたりしても良いのです。
計算すると、
$$\frac{a\times （2a）^3}{12}\times 2$$
$$\frac{16a^4}{12}･･･➁$$
になります。
最後の梁Cを見てみましょう
梁Cは幅2a。高さがaの断面が2つです。
計算すると、
$$\frac{2a\times a^3}{12}\times 2$$
$$\frac{4a^4}{12}･･･③$$
になります。
まとめると、
断面二次モーメントの比は【梁A,B,Cで4：4：1】になります。
たわみの公式では断面二次モーメントは分母に属していますので、
逆数となり【1/4：1/4：1】となります。
分数を消すために、すべてに4をかけると
【1：1：4がたわみの比】となります。
最後まで読んで頂きありがとうございます。
それではまた、次回！！